已知?jiǎng)訄AM：x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0與圓N：x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分圓N的圓周．（1）求動(dòng)圓M的圓心的軌跡方程；（2）求半徑最小時(shí)圓M的方程．

已知?jiǎng)訄AM：x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0與圓N：x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分圓N的圓周．
（1）求動(dòng)圓M的圓心的軌跡方程；
（2）求半徑最小時(shí)圓M的方程．

數(shù)學(xué)人氣：463 ℃時(shí)間：2020-01-27 07:06:28

優(yōu)質(zhì)解答

（1）如圖所示（坐標(biāo)系省略了），圓心N（-1，-1）為弦AB的中點(diǎn)，在Rt△AMN中，
|AM|²=|AN|²+|MN|²，
∴（m+1）²=-2（n+2）．（*）
故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（x+1）²=-2（y+2）．
（2）由（*）式，知（m+1）²=-2（n+2）≥0，于是有n≤-2．
而圓M半徑r=

n2+1

≥

，
∴當(dāng)r=

時(shí)，n=-2，m=-1，所求圓的方程為（x+1）²+（y+2）²=5．

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