一個自然數(shù)N共有9個約數(shù)，而N-1恰有8個約數(shù)，滿足條件的自然數(shù)中，最小的和第二小的分別是多少？

數(shù)學人氣：225 ℃時間：2019-10-23 05:59:34

優(yōu)質解答

根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式可知：
①當N=aⁿ，即N只有一個質因數(shù)時，
n+1=9，所以n=8，
這樣最小的N=2⁸=256，
N-1=255=3×5×17，
恰好有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8個約數(shù)，符合題意；
②當N=aⁿ×b^m，即N有兩個質因數(shù)時，
（n+1）（m+1）=9，
所以n=m=2，
這樣最小的N=2²×3²=36，N-1=35=5×7有（1+1）×（1+1）=4個約數(shù)，不符合題意；
第二小的N=2²×5²=50，N-1=49=7×7有（1+1）×（1+1）=4個約數(shù)，不符合題意；
第三小的N=2²×7²=196，N-1=195=3×5×13有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8個約數(shù)，符合題意；
綜上所述，最小的N是196，第二小的是256．