已知S是兩個(gè)整數(shù)平方和的集合,即S=｛X｜X=m平方+n平方,m屬于Z,n屬于Z｝求證. 若s、t屬于S
已知S是兩個(gè)整數(shù)平方和的集合,即S=｛X｜X=m平方+n平方,m屬于Z,n屬于Z｝求證.若s、t屬于S,t≠0,則S/T=p平方+Q平方,其中P.Q為有理數(shù)
答案是：
若s, t∈S,t ≠0,設(shè)s = m2 + n2,t = u2 + v2,其中m, n, u, v∈Z.因?yàn)閠≠0,故u, v不同時(shí)為零.則s/t = st/t2 = (m2 + n2)(u2 + v2)/(u2 + v2)2= ((mu + nv)2 + (mv - nu)2)/(u2 + v2)2= {(mu + nv)/(u2 + v2)}2 + {(mv - nu)/(u2 + v2)}2設(shè)p = (mu + nv)/(u2 + v2), q = (mv - nu)/(u2 + v2),則p, q為有理數(shù), 且s/t=p2+q2.
我的問(wèn)題是：為什么mu + nv)/(u2 + v2)和 (mv - nu)/(u2 + v2)一定是有理數(shù)