證明：1.奇數(shù)可寫為2n+1,則其平方為（2n+1）^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1
式中n(n+1)為相鄰的兩個自然數(shù)之積,其中必有一個偶數(shù),故積為2的倍數(shù)；4n(n+1)必為8的倍數(shù).因此4n(n+1)+1被8除余1.
2.奇數(shù)可寫為10n+1、10n+3、10n+5、10n+7、或10n+9五種形式之一,將其平方：
(10n+1)^2=100n^2+20n+1=20n(5n+1)+1
(10n+3)^2=100n^2+60n+9=20n(5n+3)+9
(10n+5)^2=100n^2+100n+25=20n(5n+5)+25
(10n+7)^2=100n^2+140n+49=20n(5n+7)+49
(10n+9)^2=100n^2+180n+81=20n+(5n+9)+81
上面各式中,前一個加數(shù)均含有20n,則十位數(shù)必為偶數(shù),后一個加數(shù)十位為0、2、4、8.顯然也是偶數(shù).故奇數(shù)的完全平方數(shù)十位必為偶數(shù).
3.一個平方數(shù)的個位只與原數(shù)的個位有關(guān),列出個個位數(shù)的平方數(shù)：
1^2=12^2=43^2=94^2=165^2=25
6^2=367^2=498^2=649^2=810^2=0
可見,個位是6的完全平方數(shù)原數(shù)個位只能是4和6,于是可寫為10n+4或10n+6.將其平方
（10n+4）^2=100n^2+80n+16=20(5n^2+4n)+16
(10n+6)^2=100n^2+120n+36=20(5n^2+6n+1)+16
上面二式,前一個加數(shù)為20的倍數(shù),十位數(shù)為偶數(shù),后一個加數(shù)的十位數(shù)為1或3,偶數(shù)加1或3,結(jié)果必為奇數(shù).
4.任何一個自然數(shù)除以3,余數(shù)不外乎0、1、2三種情況,于是自然數(shù)必可寫為3m、3m+1或3m+2.將其平方：
（3m）^2=9m^2
(3m+1)^2=9m^2+6m+1=3(3m^2+2m)+1
(3m+2)^2=9m^2+12m+4=3(3m^2+4m+1)+1
上面三式,前一個加數(shù)含有因子3,后一加數(shù)為0或1,所以應(yīng)當(dāng)可以寫完3n或3n+1的形式；
同理可證：
（4m）^2=16m^2
(4m+1)^2=16m^2+8m+1=4(4m^2+2m)+1
(4m+2)^2=16m^2+16m+4=4(4m^2+4m+1)
(4m+3)^2=16m^2+24m+9=4(4m^2+6m+2)+1
可知,以上格式均為4n或4n+1的形式.
（5m）^2=25m^2
(5m+1)^2=25m^2+10m+1=5(5m^2+2)+1
(5m+2)^2=25m^2+20m+4=5(5m^2+4m)+4
(5m+3)^2=25m^2+30m+9=5(5m^2+6+1)+4
(5m+4)^2=25m^2+40m+16=5(5m^2+8+3)+1
可見,題中給出的結(jié)論不正確!應(yīng)當(dāng)是5n或5n±1才對,即被5 除余數(shù)為0、1、4.三種情況.例如：7^2=49,8^2=64都不能表示為5n或5n+1的形式.
（8m）^2=64m^2
(8m+1)^2=64m^2+16m+1=8(8m^2+2m)+1
(8m+2)^2=64m^2+32m+4=8(8m^2+4m)+4
(8m+3)^2=64m^2+48m+9=8(8m^2+6m+1)+1
(8m+4)^2=64m^2+64m+16=8(8m^2+8m+2)
(8m+5)^2=64m^2+80m+25=8(8m^2+10m+3)+1
(8m+6)^2=64m^2+96m+36=8(8m^2+12m+4)+4
(8m+7)^2=64m^2+112m+49=8(8m^2+14m+6)+1
可見,完全平方數(shù)可以寫成8n、8n+1和8n+4的形式,題中給出的結(jié)論也不對!例如：10^2=100,14^2=196均無法寫成8n或8n+1的形式.
5.個位數(shù)為奇數(shù)的完全平方數(shù)必然是奇數(shù)的平方數(shù),必可寫為10n+1、10n+3、10n+5、10n+7和10n+9幾種形式,
（10n+1）^2=100n^2+20n+1=20(5n^2+n)
(10n+3)^2=100n^2+60n+9=20(5n^2+3n)+9
(10n+5)^2=100n^2+100n+25=20(5n^2+5n+1)+5
(10n+7)^2=100n^2+140n+49=20(5n^2+7n+2)+7
(10n+9)^2=100n^2+180n+81=20(5n^2+9n+4)+1
可見,前一個加數(shù)含有因子20,所以其十位必為偶數(shù),后一個加數(shù)為奇數(shù).因此十位和個位均為奇數(shù)的數(shù)不可能是完全平方數(shù).