橢圓x^2/4+y^2/3=1上一點(diǎn)A(1,3/2),E,F為橢圓上兩動點(diǎn),AE斜率與AF斜率互為相反數(shù),證明EF斜率為定值,且求出定值為多少
橢圓的頂點(diǎn)是（0,±√3）、（±2,0）；
標(biāo)出A（1,3／2）,點(diǎn)A在橢圓上,并連接AE、AF
設(shè)AE的斜率為k（k≠0）,則AF的斜率為－k.（若k=0,則E、F為同一點(diǎn),不符合題意）
又AE、AF經(jīng)過A（1,3／2）
∴直線AE的方程為：y-3／2 = k（x-1） ①
直線AF的方程 y-3／2 =－k（x-1） ②
又橢圓方程為 x^2／4＋y^2／3 = 1 ,分別聯(lián)立①、②并化簡得：
（4k^2+3）x^2 +（－8k^2+12k）x +（4k^2-12k-3）= 0 ③
（4k^2+3）x^2 -（8k^2＋12k）x +（4k^2+12k-3）= 0 ④
∴由③得：（x-1）*[（4k^2+3)x -（4k^2-12k-3）] = 0
∴x = 1 或 x=（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）
(1）當(dāng)x=1時,y=3／2,顯然是點(diǎn)A（1,3／2）
(2）當(dāng)x=（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）時,y=（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2＋3）
即：點(diǎn)E[（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）,（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2+3）]
∴由④得：（x-1）*[（4k^2+3)x-（4k^2+12k-3）] = 0
∴x = 1 或 x=（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）
1）當(dāng)x=1時,y=3／2,顯然是點(diǎn)A（1,3／2）
2）當(dāng)x=（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）時,y=（3／2）-（12k^2－6k）／（4k^2+3）
即：點(diǎn)F[（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）,（3／2）-（12k^2-6k）／（4k^2+3）]
∴EF的斜率k = { [（3／2）-（12k^2-6k）／（4k^2＋3））]-[（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2+3）]}/{[（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）]-[（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）]}
=[12k／（4k²＋3）]/[24k／（4k²+3）]
又k≠0
∴EF的斜率k=1／2 ,即EF的斜率為定值1／2.