若雙曲線x^2/a^2 - y^2/b^2=1的任一弦的斜率記為K1,該重點與原點連線斜率為K2,正K1K2為定值

數學人氣：564 ℃時間：2020-05-05 06:49:31

優(yōu)質解答

設弦交雙曲線于A、B兩點,A（x1,y1）B(x2,y2),
則AB中點為（（x1+x2）/2,（y1+y2）/2）,
因為k1存在,所以x1不等于x2,
所以k1=(y2-y1)/(x2-x1),k2=(y2+y1)/(x2+x1),
k1k2=(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2) (1).
又A、B為雙曲線上的點,
所以A、B滿足雙曲線方程,得
y1^2=(b^2*x1^2-a^2*b^2)/a^2 (2)
y2^2=(b^2*x2^2-a^2*b^2)/a^2 (3)
(2)(3)兩式代入（1）得
k1k2=[(b^2*x2^2-a^2*b^2)-(b^2*x1^2-a^2*b^2)]/[a^2(x2^2-x1^2)]
=[b^2(x2^2-x1^2)]/[a^2(x2^2-x1^2)]
=b^2/a^2為定值
所以命題得證,K1K2為定值.