橢圓X^2/2+Y^2=1的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線L與橢圓交于P`Q兩點(diǎn),向量PF=3向量FQ,求直線L的方程

數(shù)學(xué)人氣：547 ℃時(shí)間：2020-05-13 23:04:30

優(yōu)質(zhì)解答

斜率為0時(shí),直線交橢圓于(√2,0),(-√2,0),而橢圓的左焦點(diǎn)為(-1,0).向量為(√2+1,0),(√2-1,0)不符合向量PF=3向量FQ的條件.所以可以設(shè)直線的斜率為1/k.則直線方程為x=ky-1.代入橢圓方程x^2/2+y^2=1得
(ky-1)^2/2+y^2=1
化簡(jiǎn)得
(k^2+2)y^2-2ky-1=0
由韋達(dá)定理
y1+y2=2k/(k^2+2)
y1*y2=-1/(k^2+2)
上式左右相除得
y1/y2+y2/y1=-2k
由向量PF=3向量FQ及直線L過(guò)左焦點(diǎn)(-1,0)知
y1/y2=-3或y2/y1=-3
因此得
k=(3+1/3)/2=5/3
這樣我們得直線方程為
y=3/5(x+1).