1：證明根號2是無理數(shù)：
證明：若根號2是有理數(shù),則設(shè)它等于m/n（m、n為不為零的整數(shù),m、n互質(zhì)）
（m/n）^2=根號2 ^2 =2
則 m^2/n^2=2
m^2=2*n^2
所以 m^2是偶數(shù),設(shè)m=2k（k是整數(shù)）
所以 m^2=4k^2=2n^2
n^2=2k^2
所以 n是偶數(shù)
因為 m、n互質(zhì)
所以 矛盾
所以 根號2不是有理數(shù),它是無理數(shù)
2：用反證法證明√5是無理數(shù).
設(shè)√5不是無理數(shù)而是有理數(shù),
則設(shè)√5=p/q(p,q是正整數(shù),且互為質(zhì)數(shù),即最大公約數(shù)是1)
兩邊平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)
p^2含有因數(shù)5,設(shè)p=5m
代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2
q^2含有因數(shù)5,即q有因數(shù)5
這樣p,q有公因數(shù)5,
這與假設(shè)p,q最大公約數(shù)為1矛盾,
√5=p/q(p,q是正整數(shù),且互為質(zhì)數(shù),即最大公約數(shù)是1)不成立,
√5不是有理數(shù)而是無理數(shù).
3：同理