設(shè)⊙Q 是與ΔF1MF2 三邊MF2,F1M 的延長(zhǎng)線,F1F2延長(zhǎng)線相切的右邊的旁切圓,設(shè)在MF2上切點(diǎn)為E,在F1M 延長(zhǎng)線上的切點(diǎn)為R,在F1F2延長(zhǎng)線上的切點(diǎn)為G.則QE,QR,QG 分別與三角形F1MF2的各邊及延長(zhǎng)線垂直.下邊只要證 點(diǎn)G與橢圓長(zhǎng)軸右頂點(diǎn)重合即可,即只要證∣GF2∣=a-c.
因 由圓外一點(diǎn)向圓引的兩切線長(zhǎng)相等,所以有:∣ F1R∣=∣F1G∣,∣MR∣=∣ME∣,∣ F2E∣=∣F2G∣,
又因 ∣ F1R∣= ∣F1M∣+∣MR∣=∣F1M∣+∣ME∣=2a-∣EF2∣,
∣F1G∣=∣F1F2∣+∣F2G∣=∣F1F2∣+∣EF2∣=2c+∣EF2∣,
所以 2a-∣EF2∣=2c+∣EF2∣,
即 2a-2c=2∣EF2∣,∴ a-c=∣EF2∣=∣GF2∣,∴點(diǎn)G與橢圓右頂點(diǎn)重合,即
Q 在 x=a 上 .
同理可證,左邊旁切圓的圓心也在 x=-a 上.證畢.
說(shuō)明,可以用此類(lèi)證明方法,證明:雙曲線上點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成的三角形內(nèi)切圓圓心
也在 x=±a 上.