我會(huì)用 S(n) 代替 Sn , a(n) 代替 an , 用 a^b 表示 a的b次方
(1) 根據(jù)定義可知 S(1) = a(1),
代入S(n) = 3*a(n) - 5n
可得a(1) = 3*a(1) - 5*1
解方程可得 a(1) = 5/2
(2) 根據(jù)S(n) = 3*a(n) - 5n…… (a)
升階得S(n+1) = 3*a(n+1) - 5(n+1)…… (b)
(b)-(a)
得到S(n+1) - S(n) = 3*a(n+1) - 5(n+1) - 3*a(n) + 5n
因?yàn)镾(n+1) - S(n) = a(n+1)
所以a(n+1) = 3*a(n+1) - 5(n+1) - 3*a(n) + 5n
化簡(jiǎn)得 3*a(n) = 2*a(n+1) - 5
即3*a(n) + 15 = 2*a(n+1) + 10
即3/2[ a(n)+5 ] = a(n+1)+5
所以數(shù)列{an+5}是以 a(1)+5 為首項(xiàng),以 3/2 為公比的等比數(shù)列,
通項(xiàng)公式為[a(n)+5] = [a(1)+5] * [(3/2)^(n-1)]
即[a(n)+5] = [(5/2)+5] * [(3/2)^(n-1)]
化簡(jiǎn)得到 a(n) = 5*[(3/2)^n] - 5
(3) 把{an}的通項(xiàng)公式代入bn=(9n+4)/(an+5) 化簡(jiǎn),可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為
對(duì)于任意n∈N*,是否存在m使
(9n+4)/[5 * (3/2)^n]
1°非導(dǎo)數(shù)法
我直接切入正題了
我們要求的是 (1/5) * (9n+4) * (2/3)^n 的最大值
我們先設(shè) g(n)=(1/5) * (9n+4) * (2/3)^n
先令 g(n)>g(n+1) 那么
得出(1/5)*(9n+4)*(2/3)^n > (1/5)*[9(n+1)+4]*(2/3)^(n+1)
很容易解出 n >= 2 (n大于或等于2)
也就是說(shuō), g(2) > g(3) > g(4) > g(5) > g(6) ……
那么,g(x)的最大值就之可能為g(1)或g(2)了,
經(jīng)過(guò)計(jì)算,g(2)>g(1),
所以g(x)的最大值為g(2)=88/45
所以m的最小值為 88/45
2°導(dǎo)數(shù)法
設(shè)函數(shù) f(x) = ( 9x + 4 ) / [5 * (3/2)^x]
變形得 f(x) = (1/5) * ( 9x + 4 ) * [(2/3)^x]
求導(dǎo)得
f'(x)
= (1/5) * {9*[(2/3)^x] + (9x+4)*[(2/3)^x]*ln(2/3)}
= (1/5) * [(2/3)^x] * [9 + (9x+4)*ln(2/3)]
（通過(guò)百度計(jì)算器,我們可以很容易求出..當(dāng)x在2到3之間的時(shí)候
函數(shù)取到極值,不過(guò)這個(gè)東西在解題的時(shí)候就不用說(shuō)明了
O(∩_∩)O~）
因?yàn)?f'(x)的極大值在區(qū)間(2,3)之間取到,所以可以知道f'(x)是存
在最大值的,而且取到最大值時(shí)x在(2,3),并且在最大值左邊,函數(shù)單
調(diào)遞增,在右邊函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x取值為正整數(shù)時(shí),f(x)的最大值
為f(2)或f(3),
代入可知
f(2)>f(3)
所以f(x)的最大值在x=2時(shí)取到,此時(shí)f(2)=88/45
當(dāng)然,此時(shí)可以看出,題目有一點(diǎn)小小的漏洞,因?yàn)槔碚撋蟻?lái)說(shuō),這樣的
題目到了這一步都會(huì)要求求出m的最小值,而不是m的值,因?yàn)閙可以是
大于88/45的任何值
結(jié)論:m=88/45
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我總覺得題目最后那個(gè) bn ＜ m 應(yīng)該是 bn <= m 不然貌似..m不可以取
88/45耶..
也算很辛苦了吧..樓主能不能看看..多給點(diǎn)分?..O(∩_∩)O哈哈~