請教二元函數(shù)可微,但一階偏導(dǎo)不連續(xù)的例子
假設(shè)f(x,y)在(x.,y.)可微,但f(x,y)的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)在(x.,y.)卻不一定連續(xù).
哪位達人能舉一個例子,或說明這種情況發(fā)生時的幾何解釋?
很好的例子.通過分析例子我也得到一些啟示:
可微表示該點附近曲面是平滑的,而平滑就表示這一點附近偏導(dǎo)(或方向?qū)?shù))是漸變的,即連續(xù)的.
但我們又想讓該點的偏導(dǎo)不連續(xù),在不考慮無窮導(dǎo)數(shù)時,只能是例子中振蕩的情況.振蕩是一種極限情況,它是間斷的,但我們也可以認為它連續(xù).這就像是無窮大沒有意義,但我們也可以認為它是有意義的"數(shù)".當(dāng)函數(shù)具有這種"連續(xù)"的極限情況--振蕩型的偏導(dǎo)時,我們就得到了可微但偏導(dǎo)不連續(xù)的曲面.