條件不足,應(yīng)限制為：a、b、c都是正數(shù).
證明如下：
1、如果a＞b,那么：a－b＞0,且（a/b）＞1,
　　∴此時(shí)（a/b）^（a－b）＞1.
2、如果a＝b,那么：a－b＝0,且（a/b）＝1,
　　∴此時(shí)（a/b）^（a－b）＝1.
3、如果a＜b,那么：b－a＞0,且（b/a）＞1,
　　∴此時(shí)（a/b）^（a－b）＝［（b/a）^（－1）］^［－（b－a）］＝（b/a）^（b－a）＞1.
∴無論a、b的大小如何,都有：（a/b）^（a－b）≥1,∴［（a/b）^a］/［（a/b）^b］≥1,
∴（a/b）^a≥（a/b）^b,∴a^a/b^a≥a^b/b^b,∴a^a×b^b≥a^b×b^a.
同理,有：a^a×c^c≥a^c×c^a,　　c^c×b^b≥c^b×b^c.
∴（a^a×b^b）（a^a×c^c）（c^c×b^b）≥（a^b×b^a）（a^c×c^a）（c^b×b^c）,
∴（a^a×b^b×c^c）^2≥a^（b＋c）×b^（a＋c）×c^（a＋b）,
∴（a^a×b^b×c^c）^3≥a^（a＋b＋c）×b^（a＋b＋c）×c^（a＋b＋c）＝（abc）^（a＋b＋c）
∴a^a×b^b×c^c≥√［（abc）^（a＋b＋c）］＝（abc）^［（a＋b＋c）/3］.
即：a^a×b^b×c^c≥（abc）^［（a＋b＋c）/3］.