設(shè)橢圓方程為x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0) (1)
由直線AB和直線CD的斜率互為相反數(shù),
可設(shè)直線AB的方程為kx-y+m=0 (2)
直線CD的方程為kx+y+n=0.(3)
則過直線AB和直線CD與橢圓x²/a²+y²/b²=1的四個交點A、B、C、D的曲線系方程為
(也可理解為同時滿足方程(1)(2)(3)的點的集合)
(kx-y+m)(kx+y+n)+λ(b²x²+a²y²-a²b²)=0,
化簡得 (λb²+k²)x²+(λa²-1)y²+(kn+km)x+(m-n)y+mn-λa²b²=0 .(4)
令λb²+k²=λa²-1,得λ=(k²+1)/(a²-b²)
此時λb²+k²=λa²-1=(a²k²+b²)/(a²-b²)≠0,
即存在λ=(k²+1)/(a²-b²),
使(4)方程為圓的方程,
所以A、B、C、D四點共圓.