橢圓的中心在原點,右焦點為(1,0),過右焦點的弦AB的斜率為1,若以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的左焦點.求橢圓方程.

數(shù)學(xué)人氣：792 ℃時間：2019-08-21 07:26:57

優(yōu)質(zhì)解答

橢圓的左焦點為：C（-1,0）
設(shè)A(x1,y1） B（x2,y2）
由于：AC⊥BC
所以y1/(x1+1) * y2/(x2+1) =-1
即（x1+1）*（x2+1）+y1*y2=0
由于：y1=x1-1 y2=x2-1
即（x1+1）*（x2+1）+（x1-1）*（x2-1）=0
所以 x1*x2=-1
設(shè)a^2=m 所以a^2-b^2=c^2
將y=x-1代入橢圓方程：x2/m+y^2/（m-1）=1
即 x^2(2m-1)-2mx-m^2+2m=0
由于x1,x2為該方程的兩根
所以 x1x2=（-m^2+2m）/(2m-1)
=-1
所以m=2+√3 或2-√3
由于m>1
所以m=2+√3,即a^2=2+√3
橢圓方程為x^2/(2+√3)+y^2/(1+√3)=1