⑴設(shè)橢圓的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
設(shè)C（acosθ,bsinθ）,則OC中點(diǎn)M為（0.5acosθ,0.5bsinθ)
設(shè)A、B坐標(biāo)分別為（x1,y1)、(x2,y2),直線AB斜率為k代入到橢圓方程中,得：
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
兩式相減,得：k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×（x1+x2)/(y1+y2)=1
又M也是AB中點(diǎn),所以 （x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ
即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2 化簡(jiǎn)得：
bcosθ＋asinθ＝0 ……①
同時(shí)MF的斜率為1,所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1 化簡(jiǎn)得：
acosθ－bsinθ＝2c ……②
①②式平方相加,得：a^2+b^2=4c^2 ,又a^2-c^2=b^2
∴e=c/a=√10/5
⑵S△OAC=1/2S平行四邊形OACB=S△OAB=15√5
利用橢圓焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式AB＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α) α是直線AB的傾斜角
這里,cos^α=1/2 ,所以AB＝4ab^2/(2a^2-c^2)
又O到直線AB的距離d=c/√2 且S△OAB=15√5＝1/2AB×d
將以上各式代入,化簡(jiǎn)得：a^2=100,b^2=60
∴橢圓的方程為x^2/100+y^2/60=1
順便給你證明一邊橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式吧：
設(shè)橢圓的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
過(guò)焦點(diǎn)F1的直線AB交橢圓于AB兩點(diǎn),傾斜角為α.
另一個(gè)焦點(diǎn)為F2,連接AF2與BF2 設(shè)AF1＝m,BF1=n
則,根據(jù)橢圓定義,AF2＝2a－m ,BF2＝2a－n
在三角形AF1F2中,由余弦定理得
（2a－m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα
化簡(jiǎn)得：m=b^2/(a-c*cosα)
同理,再用一次余弦定理,可得n=b^2/(a+c*cosα)
所以AB＝m＋n＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α)