定義

如果函數f(x)在（a,b）上可導,[a,b]上連續(xù),則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意圖令f(x)為y,所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)   上式給出了自變量取得的有限增量△x時,函數增量△y的準確表達式,因此本定理也叫有限增量定理.

定理內容

若函數f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件:

(1)在[a,b]連續(xù)

(2)在(a,b)可導

則在(a,b)中至少存在一點c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

證明:

把定理里面的c換成x再不定積分得原函數f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做輔助函數G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 

易證明此函數在該區(qū)間滿足條件: 

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]連續(xù);

3.G(x)在(a,b)可導.

此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即證

幾何意義

若連續(xù)曲線y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點間的每一點處都有不垂直與x軸的切線,則曲線在A,B間至少存在一點P(c,f(c)),使得該曲線在P點的切線與割線AB平行.