lim(n->∞) an =a ,求證：lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
證明：
① 對任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
對 ε/2 >0 ,存在 N1,當(dāng)n>N1時,|an-a| max{ M ,N1} 時:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε
② 故存在 N = max{ [M] ,N1} ∈Z+
③ 當(dāng) n>N 時,
④ 恒有：|(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{本題最簡潔的方法是直接套 O'Stoltz 定理即可}
逆命題不成立,如反例 :
an = (-1)^n
lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n = 0 ,但:
an = (-1)^n 發(fā)散.