下面是從網(wǎng)上找的一則證明：
這個(gè)證明屬于Ivan Niven.假設(shè)pi=a/b,我們定義（對(duì)某個(gè)n）：
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x) + ...+ (-1)^j * f^(2j)(x) + ...+ (-1)^n * f^(2n)(x)
這里f^(2j)是f的2j次導(dǎo)數(shù).
于是f和F有如下性質(zhì)（都很容易驗(yàn)證）:
1)f(x)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式除以n!.
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在(0,pi)區(qū)間上嚴(yán)格遞增,并且x趨于0時(shí)f(x)趨于0,
x趨于pi時(shí)f(x)趨于pi^n * a^n / n!
4)對(duì)于0 = n,f的j次導(dǎo)數(shù)在0和pi處是整數(shù)（由1)可知）.
6)F(0)和F(pi)是整數(shù)（由4),5)可知）.
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）.
這樣,對(duì)f·sin從0到pi進(jìn)行定積分,就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6)可知這是個(gè)整數(shù).
問(wèn)題在于如果把n取得很大,由3)可知f·sin從0到pi進(jìn)行定積分必須嚴(yán)格大于0嚴(yán)格小于1.矛盾,證畢.