證明:必要性 由于A,B都是n階正定矩陣,根據(jù)正定矩陣的定義,A,B都是n階對(duì)稱矩陣,即A'=A,B'=B(這里A'表示A的轉(zhuǎn)置矩陣).若AB正定,則 AB也是對(duì)稱矩陣,從而AB=(AB)'=B'A'=BA.即證得了AB=BA.充分性 若AB=BA,則(AB)'=B'A'=BA=AB,這說(shuō)明AB實(shí)對(duì)稱.其次,由于A,B都是n階正定矩陣,從而A,B都與單位矩陣合同,于是存在兩個(gè)可逆實(shí)矩陣P,Q,使得A=P'P,B=Q'Q,進(jìn)而AB=P'PQ'Q.注意到P'PQ'Q=Q^(-1)(QP'PQ')Q,這說(shuō)明P'PQ'Q與)QP'PQ'相似,另外,QP'PQ'=(PQ')'(PQ'),根據(jù)P,Q都是可逆實(shí)矩陣,PQ'也是可逆實(shí)矩陣,因此QP'PQ'正定,所以QP'PQ'的特征值都是正實(shí)數(shù).由于相似的矩陣具有相同的特征值,故AB=P'PQ'Q的特征值都是正實(shí)數(shù).這就證明了AB正定.