數(shù)列-公式推導

數(shù)列-公式推導
以下是推導一個公式"a=a+r(1-p^n)/(1-p)"的過程
a=p*a+q (a表第n+1項)
a=p*a+q
兩式相減得a-a=p(a-a)
設r=a-a
所以a-a=p(a-a)=pr ; a-a=p(a-a)=p^2*r
依此類推
a=a+(a-a)+(a-a)+.+(a-a)+(a-a)
=a+r+pr+p^2*r+.+p^(n-1)*r [這就是我要問的,為什麼是加到p^(n-1)*r而不是加到p^(n-2)*r]
=a+r(1-p^n)/(1-p)
但是由a=a+(a-a)+(a-a)+.+(a-a)+(a-a)=a+r+pr+p^2*r+.+p^(n-1)*r
第2個等號之后的各項其后項為前項的p倍,且(a-a)為(a-a)之后第(n-3)項.(a-a)對應的是p^1*r,故(a-a)所對應的應為p^(1+n-3)*r=p^(n-2)*r才對
能幫我找出這種推理方式的盲點嗎,感激不盡

數(shù)學人氣：520 ℃時間：2020-05-19 08:45:24

優(yōu)質解答

這位同學你好,關于這個推導過程其實是沒有錯誤的,如果你的遞推式a=p*a+q 是正確的.錯誤是出在了"a=a+r(1-p^n)/(1-p)"這個公式,按照你所給的遞推式a=p*a+q,所得到的公式應該是a=a+r(1-p^)/(1-p).你可用以下發(fā)放檢驗：a=p*a+q,即a-q/(1-p)=p*(a-q/(1-p)),{a-q/(1-p)}是公比為p的等比數(shù)列(p不等于1,由所推公式可知),a-q/(1-p)=(a-q/(1-p))*q^從而得a=q/(1-p)+(a-q/(1-p))*q^=a=a+r(1-p^)/(1-p),其中r=a-a,與你上述推導結果是完全吻合的.

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