(1)f(1/2)=0,f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=1/2
(2)f(2)=2f(1)+1/2=1+1/2=3/2
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+1/2=2+1/2=5/2
f(4)=f(1)+f(3)+1/2=7/2
……
猜想f(n)=n-1/2,用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(1)=1-1/2成立.
f(k+1)=f(k)+f(1)+1/2=k-1/2+1/2+1/2=(k+1)-1/2成立.
所以f(1)+……+f(n)=n(n+1)/2-n/2=(1/2)n^2
(3)因為f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,所以f(m+n)-f(m)=f(n)+1/2
不妨設(shè)x10,x2+x1+1/2>1/2,所以f(x2-x1+1/2)>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)為R上的增函數(shù).
證畢!
已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)m、n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,當(dāng)x>1/2時,f(x)>0.
已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)m、n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,當(dāng)x>1/2時,f(x)>0.
1) 求f(1).
2) 求和f(1)+f(2)+...+f(n),(n∈N+).
3) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明.
1) 求f(1).
2) 求和f(1)+f(2)+...+f(n),(n∈N+).
3) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明.
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