若同階矩陣A B的特征值之一分別為x ,y那么A+B的特征值是不是有一個為x+y
答：
特征值的個數(shù)不一定只有一個,故一般說A的特征值之一為x,或x是A的一個特征值,或x是A的特征值之一.因此我將題目略作了修改,同意不?
如果它們有A的特征值x對應(yīng)的特征向量與B的特征值y對應(yīng)的特征向量相同,比如都是ξ,
那么 Aξ=xξ,B=yξ,此時(A+B)ξ=(x+y)ξ,此時A+B有特征值x+y,對應(yīng)的特征向量還是ξ.
其它情況就不好說了.
后來,電燈劍客先生提醒我說是不一定.其實我也正是因為沒有進一步找出例子,也沒有再深入分析,所以就說不好說.下面略分析一下.
不妨以二階矩陣為例,令
A=
a1,b1;
a2,b2
B=
c1,d1;
c2,d2
由已知,
|xE-A|=xx-tr(A)x+det(A)=0
|yE-B|=yy-tr(B)y+det(B)=0
注：這里tr(A)是A的主對角線元素和,即tr(A)=a1+b2.
分析|(x+y)E-(A+B)|=
(xx+yy+2xy)-(tr(A)+tr(B))(x+y)+det(A)+det(B)+det{a1,d1;a2,d2}+det{c1,b1;c2,b2}
=0+0+2xy-tr(A)y-tr(B)x+det{a1,d1;a2,d2}+det{c1,b1;c2,b2}
易見它可能等于0,也可能不等于0.
故A+B不一定有特征值x+y,即可能有也可能沒有.
或者說,x+y可能是A+B的特征值,也可能不是.
題二：設(shè)A,B分別是n階正定矩陣,那么A+B是否是正定矩陣.
據(jù)定義,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),
A為n階的正定矩陣（有時簡稱為正定陣）對于任一n維列向量x,都有x[H]Ax>0,
于是,依題意,x[H]Ax>0,x[H]Bx>0,相加得：x[H](A+B)x>0 ,即證A+B也為正定矩陣.
注1：此處,x[H]表示向量x的共軛轉(zhuǎn)置,亦稱為Hemite轉(zhuǎn)置,此概念已涵蓋實向量的轉(zhuǎn)置.
因為在實數(shù)范圍內(nèi),數(shù)的共軛等于自身,故實向量x的共軛轉(zhuǎn)置即是x的轉(zhuǎn)置.
注2：同理,復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的正定矩陣定義,已經(jīng)涵蓋的實數(shù)范圍內(nèi)的正定矩陣的定義.
注3：A[H]=A,即矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置等于自身,則稱為對稱自共軛矩陣,共軛對稱矩陣,或Hemite矩陣.故Hemite矩陣,已經(jīng)涵蓋了實對稱矩陣的定義.
注4：正定矩陣的特征及性質(zhì)
定理1：共軛對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正.
定理2：共軛對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正.
定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同于單位陣.
定理4：任意陣A為正定的充分必要條件是：A的逆陣也是正定矩陣.
正定矩陣的性質(zhì)：
1.正定矩陣一定是非奇異的,即det(A)或記為|A|≠0.
2.正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣.
3.若A為實對稱正定矩陣,則存在唯一的主對角線元素都是正數(shù)的下三角陣L,使得A=L*L′,此分解式稱為 正定矩陣的喬列斯基(Cholesky)分解.這里L(fēng)'表示轉(zhuǎn)置.
注：正定矩陣之于矩陣,相當(dāng)于正數(shù)之于數(shù).矩陣的Cholesky分解,相當(dāng)于數(shù)的開平方.
外一則：
B為對稱矩陣,E為單位矩陣.則存在充分大的正實數(shù)a,使得aE+B為正定矩陣.
另有性質(zhì)待考：
3++.若A為共軛對稱正定矩陣,則存在唯一的主對角線元素都是正數(shù)的下三角陣L,使得A=L*L[H],此為 共軛對稱正定矩陣的喬列斯基(Cholesky)分解.這里L(fēng)[H]表示L的共軛轉(zhuǎn)置.
希望能解決您的問題.