有兩個基本極限:lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2,lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).可知n → ∞時0 ≤ 1-cos(1/n)與1/n²是同階無窮小.根據(jù)比較判別法,由∑1/n²收斂,知∑(1-cos(1/n))收斂.而n → ∞時0...這兩個 lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2, lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).沒聽說過這兩個其實都算是基本極限了, 證法有很多.從基礎(chǔ)證起的話:前者(1-cos(x))/x² = 2sin²(x/2)/x², 然后對t = x/2由lim{t → 0} sin(t)/t = 1即得.后者對t = a^x-1, 有x = ln(1+t)/ln(a),于是由lim{t → 0} t/ln(1+t) = lim{t → 0} 1/ln((1+t)^(1/t)) = 1即得.如果不愿這個費功夫, 二者都可以用洛必達(L'Hospital)法則.或者用Taylor展開cos(x) = 1-x²/2+o(x²), a^x = e^(xln(a)) = 1+xln(a)+o(x).注: 嚴格來說指數(shù)函數(shù)求導公式一般是基于后面這個極限來證明的, 因此用洛必達法則在邏輯上有循環(huán)論證的嫌疑.從這里也能看出這個極限是很基本的, 建議掌握.