1.定義域x>-1,且x≠0
f(x)=[x+1+(x+1)ln(x+1)]/x
求導易得f'(x)=[x-1-ln(x+1)]/x^2,又g(x)=f'(x)x^2得
g(x)=x-1-ln(x+1),(x>-1,x≠0).(*)
求導得g'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1),
由g'(x)0,且g(x)在x∈(2,3)內單調遞增,
又g(2)=1-ln32-ln(e^2)=0,
于是根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理得,必存在唯一點a∈(2,3)使得g(a)=0,此時m=2.
3.對于x＞0,f(x)＞n恒成立,即n0上恒成立
該問題等價于n0)
求導易得h'(x)=[x-1-ln(x+1)]/x^2=g(x)/x^2,下面判斷h'(x)符號只需判斷g(x)符號
結合第一問的討論,易得
當00,h(x)單增
并有x=a為h'(x)=0的唯一駐點,且極小值h(x)=h(a),該極小值必為其最小值
于是min[h(x)]=h(a)=(a+1)[1+ln(a+1)]/a,【注意,當x=a,g(a)=a-1-ln(a+1)=0,得1+ln(a+1)=a】
代入則h(a)=[(a+1)a]/a=a+1>3,其中a∈(2,3)
顯然由n