這是根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動慣量的定義計算出來的.因為細(xì)桿質(zhì)量為M,長為l,質(zhì)量均勻分布,則其線密度為m/l,各小段的轉(zhuǎn)動慣量由于距軸心的距離不同而不同,需要積分,從而得到細(xì)桿對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為(積分上限l下限0)：
I=∫(M/l)r²dr=Ml²/3 .
而彈片在細(xì)桿的一端,相對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為
i=ml².
細(xì)桿和子彈的和角動量為
J=(I+i)ω=ml²ω+1/3Ml²ω.
這等于子彈射到細(xì)桿上時的初角動量mvl,故根據(jù)角動量守恒,mvl=ml²ω+1/3Ml²ω.
據(jù)此可求出細(xì)桿和子彈系統(tǒng)的初角速度: ω=3mv/(3m+M)l.
和初動能: Ek=(I+i)ω²/2=Jω/2=1.5m²v²/(3m+M).
當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動到最大擺角時,初動能全部轉(zhuǎn)化為重力勢能.設(shè)最大擺角為θ,則
細(xì)桿重心提升 H=0.5l*(1-cosθ),勢能增加 Ep1=MgH=0.5Mgl*(1-cosθ)；
子彈重心提升 h=l*(1-cosθ),勢能增加 Ep2=mgh=mgl*(1-cosθ)；
于是根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒,Ek=Ep1+Ep2,即
1.5m²v²/(3m+M)=(0.5M+m)gl*(1-cosθ).
可解得：
cosθ=1-3m²v²/[(3m+M)(M+2m)gl].
也可利用重力矩做負(fù)功使初動能全部轉(zhuǎn)化為重力勢能而達(dá)到最大擺角θ來求.設(shè)任一時刻的擺角為θ',則系統(tǒng)重力矩為
M=mgl*sinθ'+∫(M/l)gr*sinθ'dr=mgl*sinsθ'+0.5Mgl*sinsθ'.
重力矩做功為(積分上限θ下限0)
W=-∫Mdθ=-∫(m+0.5M)gl*sinθ'dθ'=-(0.5M+m)gl*(1-cosθ).
這等于系統(tǒng)動能的改變量,即
W=0-Ek=-1.5m²v²/(3m+M).
由以上可解得：
cosθ=1-3m²v²/[(3m+M)(M+2m)gl].
當(dāng) cosθ=1-3m²v²/[(3m+M)(M+2m)gl]>0 時,θ