首先,通過(guò)過(guò)(1,0)點(diǎn)的直線L與曲線C1:y=x^3相切的條件,求出此直線的斜率k
設(shè)直線L的方程為y=k(x-1),其中k為斜率
設(shè)L與C1的切點(diǎn)為A(x0,y0),鑒于A點(diǎn)既在L上也在C1上,可得出x0與y0的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：
y0=k(x0 -1) ①
y0=x0^3 ②
而與曲線C1相切的直線,其斜率k1可以通過(guò)對(duì)C1的解析式求導(dǎo)獲得,為：
y'=(x^3)'=3x^
無(wú)疑,當(dāng)切點(diǎn)為A(x0,y0)時(shí),此時(shí)的切線斜率為k1=3x0^
而由于此點(diǎn)恰為直線L與曲線C1的切點(diǎn)所在,故此時(shí)有k1=k成立,即：
k=3x0^ ③
將②,③兩式分別代入①式,得到關(guān)于x0的方程,化簡(jiǎn)得：
2x0^3 =3x0^
此方程的解一定是x0=0,或者x0=3/2
而當(dāng)x0=0時(shí),k=0,直線L的方程就是y=0,即x軸,通過(guò)其與奇函數(shù)y=x^3圖像的情況對(duì)比分析,可知此時(shí)的L與C1并不是相切關(guān)系,而僅僅是一種相交,故,x0=0,k=0不符合題意,舍去
于是,得出x0的唯一值為x0=3/2
就此求出k=3*(3/2)^=27/4
直線L的方程即為：
y=27x/4 -27/4
下面求a的值就容易了：
將拋物線C2：y=ax^ +15x/4 -9與L：y=27x/4 -27/4,兩者的解析式聯(lián)立,消去y可得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：
ax^-3x/2 -9/4 =0
由于L與C2相切,即兩者有且僅有一個(gè)交點(diǎn),故上述方程的△=0
即：△=(-3/2)^ - 4a*(-9/4)=0
解出a
=-1/4