充分性.
若f(0)=0,則F'(0)=lim(h->0)[(1+|sinh|)f(h)]/h=lim(h->0)f(h)/h=f'(0)
即充分性成立.
必要性.
若F'(0)存在,有F'(0)=lim(h->0)[(1+|sinh|)f(h)-f(0)]/h=lim(h->0)[(f(h)-f(0))/h+|sinh|f(h)/h]
=f'(0)+lim(h->0)|sinh|/h* f(h)
若f(0)≠0,則
在x=0的左鄰域,lim|sinh|/h=-1,因此有F'(0-)=f'(0)-f(0)
在x=0的右鄰域,lim|sinh|/h=1,因此有F'(0+)=f'(0)+f(0)
這樣F'(0-)≠F'(0+),因此F'(0)不存在,矛盾.
因此必要性成立.