我來(lái)試試吧...
LZ是應(yīng)該是大學(xué)生吧...總之,要從根本上來(lái)解答的話,必須用到
泰勒公式 和 無(wú)窮小的階數(shù) 這兩個(gè)概念
泰勒展開(kāi)：cosx=1-1/2!x^2+1/4!x^4-.
sinx=x-1/3!x^3+1/5!x^5-...
于是xcosx-sinx=-1/3x^3+1/30x^5-...
lim(x→0)(xcosx-sinx)/x^3=lim(x→0)[-1/3x^3+1/30x^5-...]/x^3
=lim(x→0)[-1/3x^3]/x^3=-1/3
其中運(yùn)用了一個(gè)等價(jià)無(wú)窮小...
設(shè)a(x),b(x)均為x0處的無(wú)窮小,（就是說(shuō)x→x0,a(x),b(x)→0）
b(x)≠0,若lim(x→x0) a(x)/b(x)=k≠0
則稱a(x)與b(x)為同階無(wú)窮小
當(dāng)k=1時(shí),稱a(x),b(x)等價(jià)...
若k=0則稱a(x)是b(x)的高階無(wú)窮?。ɡ斫鉃楦杆佟?,比如x²是x的高階無(wú)窮小）
記為a(x)= o(b(x)),則有l(wèi)im(x→x0) o(b(x))/b(x)=0
定理：一般地,x→0時(shí),一個(gè)無(wú)窮小a(x)與它的高階無(wú)窮小(記為) o(a(x)) 之和與a(x)等價(jià)
證明：lim(x→x0) [a(x)+o(a(x))]/a(x)=lim(x→x0) a(x)/a(x)+lim(x→x0) o(a(x))/a(x)=1
而在求極限中,等價(jià)的無(wú)窮小是可以替換的
所以 -1/3x^3+1/30x^5-...可以用 -1/3x^3 來(lái)替換
（注意,不是等價(jià)無(wú)窮小就不能替換）
知識(shí)補(bǔ)充好了 我們來(lái)看看LZ的問(wèn)題.
分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因?yàn)閘im[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2
錯(cuò)誤產(chǎn)生了...LZ直接用 1 替換了 sinx/x,意思就是 1和sinx/x是等價(jià)無(wú)窮小...是這樣嗎?
錯(cuò)了...他們都不是無(wú)窮小..不能轉(zhuǎn)換
即便要轉(zhuǎn)換,也必須這樣cosx-sinx/x~cosx-1 -(sinx/x-1)~cosx-1-0...
也就是說(shuō) sinx/x-1是0的等價(jià)無(wú)窮小...這顯然是錯(cuò)誤的
退一步說(shuō)...
cosx-sinx/x和cosx-1 也不是等價(jià)無(wú)窮小...
cosx-sinx/x -1/3x^2 cosx-1 -1/2x^2
所以cosx-sinx/x不能被cosx-1替換...
產(chǎn)生這個(gè)的原因是什么?
原因是 cosx-1 和 sinx/x-1 是等價(jià)無(wú)窮小...他們都是x²的同階無(wú)窮小..
cosx-1-(sinx/x-1)是多少階是不能直接確定的,只知道它的階數(shù)不小于2
這里運(yùn)用cosx-1=-1/2x^2 正好和x^2是同階無(wú)窮小也完全是運(yùn)氣...
所以說(shuō)..根本原因就是 非等價(jià)無(wú)窮小的替換導(dǎo)致了 極限的錯(cuò)誤