（1）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

＝0，查得M為AB的中點(diǎn)，即x₁+x₂=4．顯然直線AB與x軸不垂直，
設(shè)直線AB的方程為y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，將y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．
∴

△＝4p2k2?16(k?1)p＞0 x1+x2＝2pk＝4

，∴p＞1，故p的取值范圍為（1，+∞）．
（2）當(dāng)p=2時(shí)，由（1）求得A，B的坐標(biāo)分別為A（0，0），B（4，4）．
假設(shè)拋物線L：x²=4y上存在點(diǎn)C(t，

t2

4

)（t≠0且t≠4），
使得經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線L在點(diǎn)C處有相同的切線．設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為N（a，b），
∵

|NA|＝|NB |NA|＝|NC

，∴

a2+b2 ＝ (a?4)2+(b?4)2 a2+b2 ＝ (a?t)2+(b? t2 4 )2

即

a+b＝4 4a+tb＝2t+ 1 8 t3

解得

a＝? t2+4t 8 b＝ t2+4t+32 8

．
∵拋物線L在點(diǎn)C處切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝t＝

t

2

，而t≠0，且該切線與NC垂直，
∴

b? t2 4

a?t

?

t

2

＝?1．
即2a+bt?2t?

1

4

t3＝0．
將a＝?

t2+4t

8

，b＝

t2+4t+32

8

代入上式，得t³-2t²-8t=0，
即t（t-4）（t+2）=0．
∵t≠0且t≠4，
∴t=-2．故存在滿足題設(shè)的點(diǎn)C，其坐標(biāo)為（-2，1）．