(1)
S(1)=(3/2)a(1)-3/2
S(1)=a(1)=3
S(n)=(3/2)a(n)-3/2
S(n)=(3/2)[S(n)-S(n-1)]-3/2
S(n)-3S(n-1)-3=0
S(n)+3/2=3[S(n-1)+3/2]
則{S(n)+3/2}是等比數(shù)列公比是3
S(n)+3/2=[S(1)+3/2]*3^(n-1)=(1/2)*3^(n+1)
S(n)=[3^(n+1)-3]/2
a(n)=S(n)-S(n-1)=3^n(n≥2)
又a(1)=3=3^1滿足上式,
則a(n)=3^n
(2)
a(u)=b(v)
3^u=4v+3
3*[3^(u-1)-1]=4v
則3^(u-1)-1必能被4整除
即3^(u-1)除以4余數(shù)是1
3^1÷4余3
3^2÷4余1
3^3÷4余3
……
可知3的冪次除以4所得余數(shù)是兩個一循環(huán)
那么3^(u-1)=3^(2k),即u=2k+1
∴{c(n)}的項是{a(2n+1)},(k≥0)
即c(n)=3^(2n+1)可知3的冪次除以4所得余數(shù)是兩個一循環(huán)那么3^(u-1)=3^(2k),即u=2k+1這個怎么得到嗯，這個是需要數(shù)論知識證明的，如果你是高中生的話，直接這么寫就行了，不必糾結(jié)證明過程。下面給出證明。 對于{a(2n+1)}即3^(2n+1) n=0時，3^1=3除以4的余數(shù)是3 假設(shè)n=k時，3^(2k+1)除以4的余數(shù)是3 n=k+1時，3^(2k+3)=9*3^(2k+1) 而3^(2k+1)除以4的余數(shù)是3，3*9=27除以4的余數(shù)是3 （這里用到一個數(shù)論知識，就是a*b除以c的余數(shù)=【（a除以c的余數(shù)）*（b除以c的余數(shù)）】除以c的余數(shù)） 所以n=k+1的時候也成立同理可證{a(2n)}除以4的余數(shù)是1