（I）證明：因?yàn)锳₁D⊥平面ABC，所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁
所以AC₁⊥平面A₁BC；（4分）
（II）因?yàn)锳C₁⊥A₁C，所以四邊形AA₁C₁C為菱形，
故AA₁=AC=2，又D為AC中點(diǎn)，知∠A₁AC=60°．
取AA₁中點(diǎn)F，則AA₁⊥平面BCF，從而面A₁AB⊥面BCF，
過C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF中，BC＝2，CF＝

3

，故CH＝

2 21

7

，
即CC₁到平面A₁AB的距離為CH＝

2 21

7

（9分）
（III）過H作HG⊥A₁B于G，連CG，則CG⊥A₁B，
從而∠CGH為二面角A-A₁B-C的平面角，
在Rt△A₁BC中，A₁C=BC=2，所以CG＝

2

，
在Rt△CGH中，sin∠CGH＝

CH

CG

＝

42

7

，
故二面角A-A₁B-C的大小為arcsin

42

7

．（14分）