定義：設(shè)有實(shí)二次型,如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù),都有f(x)＞0,則稱此二次型為正定二次型,并把其對(duì)稱矩陣A稱為正定矩陣.
正定二次型的判別方法:
a）：二次型標(biāo)準(zhǔn)形中n個(gè)系數(shù)都大于零,則其為正定；
b）：二次型的對(duì)稱矩陣A的n個(gè)特征值大于零,則其為正定；
c）：對(duì)稱矩陣A的各階順序主子式全大于零,則其為正定.
注：設(shè)A為n階方陣,則位于A的左上角的1階,2階,...,n階子式,
即：稱為A的各階順序主子式.
例1：判別二次型的正定性.
方法一：利用二次型的對(duì)稱矩陣的特征值來判斷.
先寫出二次型的矩陣:
由于:
可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0
故此二次型為正定二次型.
方法二：利用二次矩陣的各階順序主子式來判定.
由于此二次型的矩陣為:
因?yàn)樗膫€(gè)階順序主子式:＞0,＞0,＞0
故此二次型為正定二次型.
除了正定二次型外,還有其他類型的二次型.
定義：設(shè)有實(shí)二次型,如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù),都有f(x)＜0,則稱此二次型為負(fù)定二次型,對(duì)稱矩陣A稱為負(fù)定矩陣；如果都有f(x)≥0,則稱此二次型為半正定二次型,并稱其矩陣為半正定矩陣；如果都有f(x)≤0,則稱此二次型為半負(fù)定二次型,并稱其矩陣為半負(fù)定矩陣.