已知a, b, c > 0, abc = 1, 且a(1+c) > 1, b(1+a) > 1, c(1+b) > 1.
求證: 2(a+b+c) ≥ 1/a+1/b+1/c+3.
由a, b, c > 0, abc = 1, 可設(shè)a = x/y, b = y/z, c = z/x, 其中x, y, z > 0.
所證不等式變?yōu)?(x/y+y/z+z/x) ≥ y/x+z/y+x/z+3.
等價(jià)于2(x²z+y²x+z²y) ≥ x²y+y²z+z²x+3xyz.
將a = x/y, c = z/x代入a(1+c) > 1得x+z > y (y > 0), 即x-y+z > 0.
同理, 分別由b(1+a) > 0與c(1+b) > 0可得y-z+x > 0, z-x+y > 0.
于是4(x²z+y²x+z²y)-2(x²y+y²z+z²x)-6xyz = (x-y+z)(x-y)²+(y-z+x)(y-z)²+(z-x+y)(z-x)² ≥ 0.
即有2(x²z+y²x+z²y) ≥ x²y+y²z+z²x+3xyz.
注: 最后配方這一步略顯突兀, 實(shí)際上是根據(jù)等號(hào)成立條件和已知條件湊出來的.