設(shè)平面內(nèi)n(n為正整數(shù))條直線最多可以把平面分成 an 個部分,
則a1=2,a2=4.
設(shè) n 條直線把平面分成了 an 個部分,則增加一條直線時,這條直線與前面n條直線最多有n個交點,這n個交點把這條直線分成了 n+1 段,每段都把它所在的部分分為兩個部分,
也就是說,平面由 an 個部分增加到 an+(n+1)個部分,
即 a(n+1)=an+(n+1).(n=1,2,3,.）
由上式可得
a1=2
a2=a1+2
a3=a2+3
.
an=a(n-1)+n
將以上等式兩邊分別相加,得
an=2+2+3+4+...+n=1+n(n+1)/2=(n^2+n+2)/2.
當(dāng)n=10時,10條直線最多將平面分成 (100+10+2)/2=56個部分.