首先,設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(m,n)
設(shè)AB的長(zhǎng)度為l：
那么：
A點(diǎn)的坐標(biāo)就是：(m+lcosθ/2,n+lsinθ/2)
B點(diǎn)的坐標(biāo)就是：(m-lcosθ/2,n-lsinθ/2)
又：AB長(zhǎng)度l=3
故：
A點(diǎn)的坐標(biāo)就是：(m+3cosθ/2,n+3sinθ/2)
B點(diǎn)的坐標(biāo)就是：(m-3cosθ/2,n-3sinθ/2)
這里：θ∈(－∞,0)∪(0,＋∞) (注：θ不可能為0,因?yàn)闊o(wú)論AB如何擺放都不可能完全水平.)
將A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程：y²=x,可得：
(n+3sinθ/2)²=m+3cosθ/2……①式
(n-3sinθ/2)²=m-3cosθ/2……②式
①、②相加,得到：
4n²+9sin²θ=4m……③
①、②相減,得到：
2nsinθ=cosθ ……④
而M到y(tǒng)軸距離就是M的橫坐標(biāo)m (注：由③式可知：m＞0)
由③、④可以推出：
m=(4n²+9sin²θ)/4=[(cosθ/sinθ)²+9sin²θ]/4
=(9sin²θ+1/sin²θ-1)/4
=(9sin²θ+1/sin²θ)4-1/4
根據(jù)不等式性質(zhì)：
9sin²θ+1/sin²θ≥2√(9sin²θ*1/sin²θ)=6
并且當(dāng)9sin²θ=1/sin²θ,即：sin²θ=1/3時(shí),9sin²θ+1/sin²θ取得最小值6
∴當(dāng)sin²θ=1/3時(shí),m取得最小值：
m=(9sin²θ+1/sin²θ)4-1/4=6/4-1/4=5/4
此時(shí)：cos²θ=1-sin²θ=2/3
∴cotθ=±√(cos²θ/sin²θ)=±√2
∴由④式：n=cotθ/2=±√2/2
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為：(5/4,√2/2)或：(5/4,－√2/2)
而M到y(tǒng)軸的最小距離,即m的最小值為：m=5/4
手工計(jì)算,錯(cuò)了輕拍~