其實(shí)用線性變換, 不變子空間和商空間的語(yǔ)言可以給出一種更優(yōu)美的證明, 只是相對(duì)抽象.
用到以下引理:
設(shè)A是V上的線性變換, W是一個(gè)A的不變子空間, 則A的特征多項(xiàng)式等于A在W上限制的特征多項(xiàng)式乘以A在商空間V/W上約化的特征多項(xiàng)式.
本質(zhì)上和上面證明得到的|λE−A| = |λE−R|·|λE−U|是一回事, 這里就不證了.
證明: 設(shè)線性空間M,N的維數(shù)分別為m,n, 各取定一組基.
M上具有矩陣A的線性變換仍記為A, N上具有矩陣B的線性變換仍記為B.
N到M的具有矩陣C的線性映射仍記為C, 則由條件成立線性映射的等式AC=CB.
C的核ker(C) (滿足CX=0的X全體)是N的一個(gè)n-r維子空間, 而且是B的不變子空間.
B-不變是因?yàn)槿鬤∈ker(C), 即有CX=0, 則C(BX)=ACX=0, 可得BX∈ker(C).
另一方面, C的像集im(C) (即C(N))是M的一個(gè)r維子空間, 而且是A的不變子空間.
A-不變是因?yàn)槿鬥∈im(C), 即存在X∈N使CX=Y, 則AY=ACX=C(BX), 也有AY∈im(C).
由同態(tài)基本定理, C給出商空間N/ker(C)到im(C)的一個(gè)同構(gòu).
而條件AC=CB說(shuō)明, 在C給出的同構(gòu)下, B在N/ker(C)的約化恰好對(duì)應(yīng)A在im(C)的限制.
在N/ker(C)與im(C)上取對(duì)應(yīng)的基(前面取Z, 后面就取CZ), 則二者有相同的矩陣.
于是有相同的特征多項(xiàng)式, 次數(shù)為r(即N/ker(C)和im(C)的維數(shù)).
但B在N/ker(C)約化的特征多項(xiàng)式整除B的, A在im(C)限制的特征多項(xiàng)式整除A的.
于是A,B的特征多項(xiàng)式有次數(shù)為r的公因式, 至少有r個(gè)公共特征值.