| f(x) |
| x |
| xf′(x)?f(x) |
| x |
則xf′（x）-f（x）＞0，
則F′（x）=
| xf′(x)?f(x) |
| x2 |
| f(x) |
| x |
（2）由于x1，x2∈（0，+∞），則0＜x1＜x1+x2，而F(x)＝
| f(x) |
| x |
| f(x1) |
| x1 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），同理 （x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2）
（1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0，
因此 f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．
（3）證法1：由于x1，x2∈（0，+∞），則0＜x1＜x1+x2+…+xn，而F(x)＝
| f(x) |
| x |
即
| f(x1) |
| x1 |
| f(x1+x2+…+xn) |
| x1+x2…+xn |
∴（x1+x2+…+xn）f（x1）＜x1f（x1+x2+…+xn）
同理 （x1+x2+…+xn）f（x2）＜x2f（x1+x2+…+xn），
…，
（x1+x2+…+xn）f（xn）＜xnf（x1+x2+…+xn）
以上n個(gè)不等式相加得：（x1+x2+…+xn）[f（x1）+f（x2）+…f（xn）]＜（x1+x2+…+xn）f（x1+x2+…+xn）
而x1+x2+…+xn＞0，f（x1）+f（x2）+…f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．
證法2：數(shù)學(xué)歸納法
①當(dāng)n=2時(shí)，由（2）知，不等式成立；
②當(dāng)n=k（n≥2）時(shí)，不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）成立，
即f（x1）+f（x2）+…f（xk）＜f（x1+x2+…+xk）成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（x1）+f（x2）+…f（xk）+f（xk+1）＜f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）
再由（2）的結(jié)論，f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＜f[（x1+x2+…+xk）+xk+1]f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＜f（x1+x2+…+xk+xk+1）
因此不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）對(duì)任意n≥2的自然數(shù)均成立