設N(a,f(a))
N處的切線：y=f'(a)(x-a)+f(a)
與x軸交點T:x=-f(a)/f'(a)+a
NT=OT
即[f(a)/f'(a)]^2+f(a)^2=[a-f(a)/f'(a)]^2
展開：f(a)^2=a^2-2af(a)/f'(a)
記f'(a)=y,a=x,寫成一般的微分方程：y^2=x^2-2xy/y'
故y'=2xy/(x^2-y^2)
令y=xu,則y'=u+xu'
代入得：u+xu'=2x^2u/(x^2-x^2u^2)
u+xu'=2u/(1-u^2)
xu'=u(1+u^2)/(1-u^2)
du *(1-u^2)/[u(1+u^2)]=dx/x
du*[ 1/u-2u/(1+u^2)]=dx/x
積分：ln|u|-ln(1+u^2)=ln|x|+C1
u/(1+u^2)=ce^x
即:xy/(x^2+y^2)=ce^x
這就是該曲線的方程
設曲線y=f(x)上任一點N處的切線與x軸的交點為T,且線段NT的長度等于線段OT的長度(O為原點)求該曲線方程
設曲線y=f(x)上任一點N處的切線與x軸的交點為T,且線段NT的長度等于線段OT的長度(O為原點)求該曲線方程
數(shù)學人氣：350 ℃時間：2020-09-18 20:58:39
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