(1)曲線C方程化為(x-1)²+(y-2)²=5-m
顯然當(dāng)5-m>0,即m<5時曲線C是圓.
(2)設(shè)M,N坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
把x+2y-4=0,即y=2-(x/2)代入圓C方程,得
x²+(2-x/2)²-2x-4(2-x/2)+m=0,整理得
5x²-8x+4(m-4)=0
該方程有實根,即Δ=(-8)²-4*5*4(m-4)=-16(5m-24)>0
解得m<4.8
由韋達定理得x1+x2=8/5,x1x2=4(m-4)/5
由OM⊥ON,得(x1,y1)*(x2,y2)=0(向量OM與向量ON內(nèi)積為0),即
x1x2+y1y2=0,而
y1y2=(2-x1/2)(2-x2/2)=4-(x1+x2)+x1x2/4
=4-8/5+(m-4)/5=(m+8)/5,故
x1x2+y1y2=4(m-4)/5+(m+8)/5=(5m-8)/5=0
解得m=1.6<4.8,故m的值為1.6.
(3)以MN為直徑,且OM⊥ON,故所求圓過原點.
M,N中點O`坐標(biāo)：((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即(4/5,2-(4/5)/2)
亦即(4/5,8/5),此即為所求圓的圓心,O`O即為半徑.
O`O²=(4/5-0)²+(8/5-0)²=16/5
故以MN為直徑圓的方程為(x-4/5)²+(y-8/5)²=16/5