已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R)為奇函數(shù),在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x-2.
（1）求函數(shù)f(x)的表達式.
（2）求曲線在點M（x1,f（x1））處的切線方程,并求曲線在M（x1,f（x1））處的切線y=f(x)與曲線圍成封閉圖形的面積.
（3）如果過點（2,t）可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)x的取值范圍.
【解】
（1）
f(x)=ax^3+bx^2+cx,f(-x)=a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x),
因為f(x)是R上奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),
即 a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)=-(ax^3+bx^2+cx),
所以b=0,
f(x)=ax^3+cx,f(1)=a+c,f′(x)=3ax^2+c,
由f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x-2,就是
y-f(1)=2(x-1),
所以
f(1)=a+c=0,
f′(1)=3a+c=2
所以,a=1,c=-1,
所以f(x)=x^3-x,f′(x)=3x^2-1.
（2）
所以M(x1,(x1)^3-x1),
過M的切線方程為y-[(x1)^3-x1]=3[(x1)^2-1](x-x1),
即y=[(3x1)^2-1]x-2(x1)^3,
由y=[(3x1)^2-1]x-2(x1)^3和y=(x1)^3-x1
得x^3-3[(x1)^2]x+2(x1)^3=0①和y=(x1)^3-x1②
因為x=x1肯定是①的解,所以
0= x^3-3[(x1)^2]x+2(x1)^3
=[x^3-(x1)x^2]+[(x1)x^2-x(x1)^2]-[2x(x1)^2-2(x1)^3
=(x-x1)[x^2+(x1)x-2(x1)^2]
=(x-x1)^2(x+2x1)
所以x=x1,y=(x1)^3-x1
或x=-2x1,y=-8(x1)^3+2x1,
即過M(x1,(x1)^3-x1)的切線與曲線的另一個交點為(-2x1,-8(x1)^3+2x1)
由于奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,我們不妨設(shè)x1>0,
將x=0代入曲線方程,有f(0)=0,
將x=0代入切線方程,有y=-2x1