證明：假設(shè)√2不是無理數(shù),而是有理數(shù).
既然√2是有理數(shù),它必然可以寫成兩個整數(shù)之比的形式：
√2=p/q
又由于p和q沒有公因數(shù)可以約去,所以可以認(rèn)為p/q 為既約分?jǐn)?shù),即最簡分?jǐn)?shù)形式.
把 √2=p/q 兩邊平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶數(shù),p 必定為偶數(shù),設(shè)p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數(shù),設(shè)q=2n
既然p和q都是偶數(shù),他們必定有公因數(shù)2,這與前面假設(shè)p/q是既約分?jǐn)?shù)矛盾.這個矛盾是有假設(shè)√2是有理數(shù)引起的.因此√2是無理數(shù).