求通過原點(diǎn)且與兩直線：x+2y-9=0 2x-y+2=0相切的圓的方程
答案在下面：
L1:X+2Y-9=0,斜率K1=-1/2.
L2:2X-Y+2=0,斜率K2=2.
K1*K2=(-1/2)*2=-1,故L1⊥L1.兩式連立求解得L1與L2交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4).
為便于稱呼,在L1上取任一點(diǎn)B(9,0),在L2上任取一點(diǎn)C(-1,0).
過A作∠BOC的平分線L3,設(shè)其傾角為α3,L2的傾角為α2,則α3=α2+45°,因此L3的斜率K3=tanα3=tan(α2+45°)=(tanα2+tan45°)/(1-tanα2tan45°)
=(k2+1)/(1-k2)=(2+1)/(1-2)=-3.故L3的方程為:
L3:3X+Y-7=0.
所求園的園心在L3上,因此可設(shè)園心M的坐標(biāo)為(a,7-3a).利用園心M到直線L2的
距離=M到原點(diǎn)的距離可得等式:
｜2a-(7-3a)+2｜/√5=√[a^2+(7-3a)^2],即
｜5a-5｜/√5=√(10a^2-42a+49),兩邊平方得:
5a^2-10a+5=10a^2-42a+49.
即5a^2-32a+44=0
即(5a-22)(a-2)=0,∴a=22/5或a=2,從而得園心M的坐標(biāo)為M1(22/5,-31/5)或M2(2,1).于是R1=｜OM1｜=｜5*(22/5)-5｜/√5=17/√5; R2=｜OM2｜=
｜5*2-5｜/√5=5/√5=√5.故所求園的方程為:
園M1:(x-22/5)^2+(y+31/5)^2=289/5,或?qū)懗?5x-22)^2+(5y+31)^2=1445
園M2:(x-2)^2+(y-1)^2=5.