充分性：
∵A是n階矩陣,且|A|≠0
∴秩r(A)=n,即滿秩,∴增廣矩陣r(A,b)=n
∵r(A)=r(A,b)=n
∴非齊次線性方程組Ax=b對任何b都有解.
必要性：
假設(shè)|A|=0,即r(A)＜n,
若此時給出一個b無法用A的向量線性表示,即增廣矩陣r(A,b)＞r(A)
那么此時非齊次線性方程組Ax=b就無解,請看例子：
設(shè)A是：b是：
1 0 0 1
0 1 0 1
0 2 0 1
此時|A|=0,r(A)=2,r(A,b)=3,Ax=b無解
因此當(dāng)|A|=0時,不能保證非齊次線性方程組Ax=b對任何b都有解,
∴假設(shè)|A|=0不成立,→|A|≠0
總結(jié)：對于非齊次線性方程組Ax=b（設(shè)A是n階矩陣）
① r(A)=r(A,b)＜n,方程組有無窮多解.
② r(A)＜r(A,b)≤n,方程組無解.
③ r(A)=r(A,b)=n,方程組有且僅有唯一解.