將f(x)=sinx,g(x)=cosx用泰勒公式在x=0處展開
它們的導(dǎo)數(shù)是有規(guī)律的分別按cosx,-sinx,-cosx,sinx和-sinx,-cosx,sinx,cosx循環(huán).
f在x=0處的1,2,……階導(dǎo)為數(shù)分別為1,0,-1,0,1……（循環(huán)）；
g在x=0處的1,2,……階導(dǎo)數(shù)分別為0,-1,0,1,0……（循環(huán)）；
sinx=f(0)+∑(x-0)^i*fi(0)/i! (i從0到正無窮）＝0+x/1!-x^3/3!+x^5/5!-……
cosx=g(0)+∑(x-0)^i*gi(0)/i! (i從0到正無窮)=1-x^2/2!+x^4/4!-……
fi,gi,為f,g的i階導(dǎo)數(shù)
代入所求式中
原式=lim(x→0)[x^3*(1/2!-1/3!)-(1/4!1/5!)x^5+……]/[x^3(1/1!-1/3!x^2+……)^3]
==lim(x→0)[(1/2!-1/3!)-(1/4!1/5!)x^2+……]/[(1/1!-1/3!x^2+……)^3]
=1/2!-1/3!
=1/3