設(shè)這n個(gè)數(shù)為a1,a2,a3 ...an
取am = (m - 1) × n!+ 1 （1 ≤ m ≤ n）
那么數(shù)列 {am} 是首項(xiàng)為1,公差為 n!的等差數(shù)列
其中任意兩個(gè)數(shù) ap,aq （1 ≤ p < q ≤ n）的最大公約數(shù)
(ap,aq) = (aq - ap,ap) = ( (q - p) × n!,ap)
∵q - p < n
∴(q - p) × n!的質(zhì)因數(shù) 均 小于等于n
而ap除以任意一個(gè)小于等于n的數(shù)都余1
也就是說(shuō),(q - p) × n!的所有質(zhì)因數(shù),沒(méi)有一個(gè)會(huì)是ap的質(zhì)因數(shù)
因此 (q - p) × n!和 ap 互質(zhì)
即(ap,aq) = ( (q - p) × n!,ap) = 1
即ap,aq互質(zhì)
因此,對(duì)于任意正整數(shù)n,存在n項(xiàng)等差正整數(shù)列,它們中的項(xiàng)兩兩互質(zhì)
證畢.