利用二重積分計算體積,就是二重積分的幾何意義,把立體看作是一個曲頂柱體,曲頂是一個曲面z＝f(x,y),底面是xy坐標面上的閉區(qū)域D,則體積V＝∫∫(D)f(x,y)dxdy.
圖形不一定要畫,主要是分析出曲頂和底面.
1、柱體的母線平行于z軸,所以柱體被平面z＝0和拋物面x^2+y^2=6-z截得的立體就是一個曲頂柱體,底面就是柱體的準線x=0,y=0,x+y=1圍成的一個xy坐標面上的區(qū)域D,而曲頂就是拋物面z＝6-(x^2+y^2),所以體積
V＝∫∫(D) [6-(x^2+y^2)]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1-x) [6-(x^2+y^2)]dy＝17/6
2、柱體的母線平行于z軸,所以柱體被平面z＝0和2x+3y+z＝6截得的立體就是一個曲頂柱體,底面就是柱體的準線x=0,y=0,x＝1,y＝1圍成的一個xy坐標面上的區(qū)域D,而曲頂就是平面z＝6-2x-3y,所以體積
V＝∫∫(D) [6-2x-3y]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1) [6-2x-3y]dy＝7/2