在19世紀(jì)中期,一位歐洲學(xué)生在給地圖著色時(shí),發(fā)現(xiàn)了一個(gè)十分奇怪而有趣的現(xiàn)象,那就是無論多么復(fù)雜的地圖,只用四種顏色就能使得兩個(gè)相鄰地區(qū)的顏色不同.他把這種發(fā)現(xiàn)告訴了英國(guó)當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家摩爾根,摩爾根對(duì)此很感興趣,想用數(shù)學(xué)的方法給出證明,可是無論如何也證不出來,于是這個(gè)問題后來便成為世界數(shù)學(xué)史上的名題和難題,許多數(shù)學(xué)家都爭(zhēng)著去證明它,但證明了一百多年還是沒有結(jié)果,四色問題還是困繞著世界數(shù)學(xué)界.
至到本世紀(jì)70年代,美國(guó)數(shù)學(xué)家阿沛爾和哈肯,用電子計(jì)算機(jī),對(duì)“四色問題”進(jìn)行了數(shù)學(xué)歸納法的證明.他們假設(shè)：若一個(gè)圖不能夠嵌入一個(gè)不可能四著色的圖里面,那么這個(gè)圖一定是可以四著色的.于是他們兩人從十萬多張不同的地圖中挑選出近兩千多張輸入電子計(jì)算機(jī),對(duì)每一張地圖都使用了二十萬種可能的著色方法,作出了兩百億個(gè)邏輯判定,經(jīng)過一千二百多個(gè)小時(shí),終于在1976年證明出來,從此困繞數(shù)學(xué)界多年的“四色問題”得到最終解決.
“四色問題”的圓滿解決,為人類解決各種各樣的問題提供了方法論,極大地豐富了數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法,開拓了人類運(yùn)用電子計(jì)算機(jī)的新領(lǐng)域,這些成果廣泛地應(yīng)用到人類的生產(chǎn)和生活的方方面面,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科在生產(chǎn)和實(shí)踐上的廣泛應(yīng)用.
如果世界各國(guó)都是隔離的.那么世界地圖只需要一種顏色就能隔離所有國(guó)家.
如果各個(gè)國(guó)家最多只有兩個(gè)是相鄰的,那么需要兩種顏色就OK了.
如果是三個(gè)國(guó)家相鄰呢?
[3-1]如果三個(gè)中有兩個(gè)是不接觸的（1跟2接觸,2跟3接觸,1跟3不接觸）,
那么需要兩種顏色就OK了（第3號(hào)國(guó)家可以與第1號(hào)一個(gè)顏色）.
[3-2]如果三個(gè)國(guó)家是互相都接觸著的
（像是一塊月餅平分成三個(gè),中心角度為120度的扇形那樣.123都是接觸的.）,
那么,需要三種顏色就OK了.
而三個(gè)國(guó)家相鄰的時(shí)候,只能分成以上兩種情況.
四個(gè)國(guó)家相鄰的時(shí)候,等于是三個(gè)國(guó)家在加上第四個(gè)國(guó)家.
在[3-1]上加一個(gè)國(guó)家,得到5種情況：
[4-1]4跟1接觸,或4跟3接觸.只需要兩種顏色.
[4-2]4跟2接觸.需要兩種顏色.
[4-3]4跟12接觸,或4跟23接觸.需要三種顏色.
[4-4]4跟13接觸.需要三種顏色.
[4-5]4跟123都接觸.需要四種顏色.
在[3-2]上加一個(gè)國(guó)家,得到4種情況：
[4-6]4只跟123中的一個(gè)接觸,結(jié)果回到[4-3]
[4-7]4跟123中的兩個(gè)接觸,結(jié)果回到[4-4]
[4-8]4跟123都接觸,且4被123包圍.跟[4-5]不一樣,但也需要四種顏色.
[4-9]4跟123都接觸,但4不被123包圍.這時(shí)候有點(diǎn)問題.
4已經(jīng)跟123中的兩個(gè)接觸,但還要跟剩下的一個(gè)也接觸,
會(huì)導(dǎo)致123中的一個(gè)被另外兩個(gè)加上4,這三個(gè)包圍.
這樣還是回到[4-8],4個(gè)里有一個(gè)被其他三個(gè)包圍的情況.
這樣總結(jié)起來,只有[4-5][4-8][4-9]是用到4種顏色的.
但是,[4-8][4-9]都有一個(gè)特點(diǎn)：“有一個(gè)被包圍了”.
被包圍,說明不能在跟第五個(gè)國(guó)家接觸,就等于少了一個(gè),
就等于對(duì)第五個(gè)以后（包括第五個(gè)）的國(guó)家來說不負(fù)存在.
這樣,這4個(gè)國(guó)家就回到了3個(gè)國(guó)家的情況了.
要想用到第五個(gè)顏色,突破口只有一個(gè)：[4-5]123三個(gè)串聯(lián),4跟123并聯(lián).
然后第五個(gè)國(guó)家接觸1234.（當(dāng)然,這會(huì)導(dǎo)致1234中有一個(gè)被其他3個(gè)加上5,這四個(gè)國(guó)家包圍）
這樣才能得到“使用五中顏色”的情況.
剩下的,就只是地理知識(shí)了.
當(dāng)今世界國(guó),家分界的結(jié)果,沒有任何5個(gè)國(guó)家能滿足以上條件：
“三個(gè)國(guó)家串聯(lián),且這三個(gè)跟第四個(gè)并聯(lián).然后這四個(gè)國(guó)家被第五個(gè)國(guó)家包圍或半包圍.”
但是,如果世界重新劃分,出現(xiàn)了以上情況,那么
到時(shí)候世界地圖就是“五中顏色”的了!