MF=√(mn),本題的解形式不唯一,因為mnp的取值互相制約,需滿足(m-p)/m+(n-p)/n=0的條件,mnp里有1個數(shù)是多余的條件,p=2mn/(m+n).我只是給了一個比較簡單的表達(dá)式.










拋物線焦點F(p/2,0),準(zhǔn)線L為x=-p/2.


AA1=AF=m,BB1=BF=n,AB=m+n,AB'=m-n.
所以A1B1=BB'=√(AB²-AB'²)=√((m+n)²-(m-n)²)=2√(mn),故A1M=B1M=√(mn).


先說一個比較巧的幾何學(xué)方法：


BM=√(MB1²+B1B²)=√(n²+mn),同理AM=√(m²+mn),


因為BM=√(n(n+m))=√(BF×AB),因此BM/BF=AB/BM,所以三角形FMB和三角形AMB相似.


所以MF=MB/AB×AM=√(n(n+m))/(n+m)×√(m(n+m))=√(mn).


我圖畫的不好,實際上MF和AB垂直,AM和MB垂直.


下面是另一個比較硬算的方法：


點N為AB中點,則FN=AF-AN=m-(m+n)/2=(m-n)/2.



M的y坐標(biāo)=FNsin(FNM)=FNsin(BAB')=(m-n)/2×2√(mn)/(m+n)=(m-n)√(mn)/(m+n).


sin(BFO)=(FL-BB1)/FB=(p-n)/n,同理sin(AFx)=(AA1-FL)/FA=(m-p)/m,因為角度相等,得
(p-n)n+(p-m)/m=0,得p=2mn/(m+n).


所以由勾股定理,因為F到準(zhǔn)線距離為p=2mn/(m+n)已知,則


MF=√(p²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√(4m²n²/(m+n)²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√((mn)(4mn+(m-n)²)/(m+n)²)
=√((mn)(m+n)²/(m+n)²)=√(mn).