由τ是X上的拓?fù)? 有X ∈ τ, 而A是X的子集, 故X = A∪X ∈ τ'.
又由τ'的定義, ∅ ∈ τ.
對(duì)任意U', V' ∈ τ', 存在U, V ∈ τ使得U' = A∪U, V' = A∪V.
由τ是拓?fù)? 有U∩V ∈ τ, 于是U'∩V' = (A∪U)∩(A∪V) = A∪(U∩V) ∈ τ'.
進(jìn)而τ'中元素的有限交仍屬于τ'.
對(duì)任意一族U'[λ] ∈ τ' (λ ∈ 指標(biāo)集∧), 存在U[λ] ∈ τ使得U'[λ] = A∪U[λ].
由τ是拓?fù)? 有∪{λ ∈ ∧} U[λ] ∈ τ,
于是∪{λ ∈ ∧} U'[λ] = ∪{λ ∈ ∧} A∪U[λ] = A∪(∪{λ ∈ ∧} U[λ]) ∈ τ'.
即τ'中元素的任意并仍屬于τ'.
綜上, τ'也是X上的一個(gè)拓?fù)?