只需證明 Y的可列個(gè)稠密開集就交集仍是稠密的.
設(shè) U1,U2,.,Un ,...是子空間Y的一列稠密開集.
因?yàn)閅是X的開子集.所以 Un,n=1,2,...是X中的開子集.設(shè) A=X - （Y的閉包）,則A為開集.
設(shè) Vn=Un 并A,n=1,2,.Vn 顯然是X 的開集.
任給n>0,Vn為X 的稠密開集.
證明：任給X 的開集U,
1.如果U交Y=空集.則U屬于A ==》 U交Vn非空.
2.如果U交Y非空,因?yàn)閂n 在Y中稠密,而U交Y為Y中非空開集,所以 (U交Y)交Vn非空,即U交Vn非空.
所以 Vn為X 的稠密開集.
于是 根據(jù)拓?fù)淇臻gX是Baire空間,Vn對所有 n=1,2,...的交是X中的稠密集.任給Y中開子集U0,
U0 是X的開集,于是 （Vn對所有 n=1,2,...的交）交U0 非空,因 A交U0=空集,所以
（Un對所有 n=1,2,...的交）交U0 非空
所以結(jié)論成立.有個(gè)地方不理證明Vn為X 的稠密開集時(shí)候，當(dāng)U交Y=空集時(shí)，那么有U屬于X-Y，但是A是屬于X-Y的，未必有A=X-Y，怎么判斷U屬于A 呢？抱歉，這里是有些跳躍。 反證：如果存在 x屬于 U-A。 即 x屬于 Y的閉包。U是包含x的開集，既然x屬于 Y的閉包，則U交Y非空（否則，x不在Y的閉包中。）。這與 U交Y=空集 矛盾。